抓三堆游戏及其终极奥秘（第一部分）

“抓三堆”游戏及其终极奥秘 （第一部分）

 　　　　　          　  万春熙（北京理工大学），2022年 1月    

前言

“抓三堆”游戏有趣且简便易行、随时随地都可玩起来，可以自娱自乐（左右手对弈），能增益智力。游戏者若掌握其原理，将有助于培育十进/二进制转换与集合运算能力。

我在1969年接触到这个游戏。那时，北理工的教师和学生一起到首钢参加劳动。休闲的时候，一位同学用这游戏发起“挑战”；在上、下工的队伍里，我们曾经用轮流口述三个数字的方式，一边走路一边玩游戏。后来，我悄悄地破解了游戏奥秘。

五十多年过去了，忽然发现网上竟涌现出很多讨论这个游戏的贴文，但却无一能明确彻底地揭示该游戏的奥秘；反而，混乱和错误比比皆是。所以，深感有必要把这个游戏的终极奥秘公布出来，并力求解说得明白透彻，供有兴趣的朋友们实践运用或研究参考。春节即将到来，又是疫情期间，希望这游戏能给人们增添快乐。

本文有两部分：第一部分是入门，介绍该游戏的操作方法、规则和初步技巧。第二部分揭示该游戏的终极奥秘。

建议先读第一部分，并且要亲自试做几次游戏（左右手互弈更好），积累经验、试探规律。然后再读第二部分（需要某些数学知识），才能彻底理解并掌握百战百胜的法则。

第一部分， “抓三堆”游戏入门

一、游戏方法与规则：

设置三堆棋子（或石子、纸团、硬币等颗粒物），每堆数量不限。熟练后也可用口述或书写三个数字等方式来代替棋子。

规则：甲乙两方对弈，轮流从任选的一堆（限制只选一堆）中取出至少一枚（甚至全部）棋子。反复进行，直到最后一堆的最后一枚（甚至全部）棋子被一方取走，清零，则最后这位操作者获胜。

定义：若a,b,c是各堆棋子的数目，则集合 {a,b,c} 是游戏的局势，简称“局”。集合中各元素可任意排序，即 {a,b,c}={b,c,a}={c,b,a}。

定义：局中棋子的总数为该局的“层级”。游戏中的每一步操作都必定使局的层级降低，直至清零（层级为零，无可再低）。

在所有可能的局势中，“可控局”是致胜关键（其严格定义将留待第二部分），下面的例子将展示游戏过程中，如何通过一系列“可控局”，一步步取得胜利。

例1，设置三堆棋子，随机地假定局势为｛5,7,9｝（非可控局）。

第一轮操作：甲将5减至2，得到 {2,7,9}；

乙将9减至5，得到 {2,7,5} —— 这是可控局。

第二轮操作：甲将7减至3，得到 {2,3,5}；

乙将5减至1，得到 (2,3,1) —— 这是可控局。

第三轮操作：甲将3减至0，得到 {2,0,1}；

乙将2减至1，得到 {1,0,1} —— 这是可控局。

第四轮操作：甲将某个1减至0，得到 {0,0,1}（无选择余地）；

乙将最后的1清零，得到 {0,0,0}，乙胜。

二、制胜的初步秘诀和策略（较简单的“可控局”等）：

１、最简制胜招数是造成“两堆一样”，这是一批“可控局”。—— 在例1第三轮，乙方弈出 {0,1,1}；即锁定了胜局。随后，无论甲方如何操作，乙方总能清零并获胜。故对于甲方而言 {0,1,1} 是必败局，对于乙方则是必胜局；这就是一个可控局，乙方是主控者。

注意，{0,2,2}、{0,3,3}、…{0,m,m}、…都可经过若干轮的操作而抵达{0,1,1}，故 {0,m,m} 是一批可控局，其中m是任何正整数。

（注：若对方已陷入 {0,m,m} 局势中；假定他从某个m中减去p枚棋子，则主控方只需在另个m中也减去p枚棋子，局势 {0.m-p,m-p} 仍是“两堆一样”，直到 {0,1,1}、{0,0,0} 为止。）

2、{1,2,3} 是第二个最简单的可控局。—— 在上例第二轮第二步，乙方弈出的 {1,2,3} 也是可控局。甲方此时有6种操作方案，但是随后乙方必能弈出 {0,m,m}，最终获胜。

3、“可控局”、“可控操作”和“可控网”：—— 存在无限多的可控局，但却有更多的“非可控局”。下面列出一批层级较低的可控局，将它们按层级列阵如下（只需掌握其中5-6个以上层级最接近 {0,0,0} 的可控局，就能在游戏中拥有很大的主控权）：

：     ：     ：     ：     ：     ：

{5,8,13} , {5,9,12} , {5,10,15} , {5,11,14} , {5,16,21} , {5,17,20}, … … ;

{4,8,12} , {4,9,13} , {4,10,14} , {4,11,15} , {4,16,20} , (4,17,21), … … ;

{3,4,7} , {3,5,6} , {3,8,11} , {3,9,10} , {3,12,15}, … … ; 

{2,4,6} , {2,5,7} , {2,8,10} , {2,9,11} , {2,12,14}, … … ;

{1,2,3} , {1,4,5} , {1,6,7} , {1,8,9} , … … ; 

{0,1,1} , {0,2,2} , … … … , {0,m,m} , … … ;

{0,0,0} 。

从任何一个高于 {0,0,0} 的可控局出发，若只通过一步操作，绝不可能抵达另一个可控局，只能抵达某个“非可控局”（必定是层级较低的）。

但从任何“非可控局”出发，施行某种“可控操作”（本文第二部分将详细解说，也可按上面举出的可控局阵列操作），定能抵达某个层级较低的“可控局”。

如此逐轮操作下来，可构成朝向 {0,0,0} 汇聚的网，即“可控网”。

策略：主控方必须抢先弈出可控局，随后每轮持续弈出可控局，使对方无法摆脱可控网、逐步逼近 {0,0,0}；最后以可控的方式“清零”。

三、变换“获胜准则”将会怎样？可以“让对手获胜”吗？

1、变换“获胜准则”之后，如何获胜？

若是约定：“清零者失败”（事实上，的确有不少人偏爱这个准则），前述的获胜策略总体上依然有 —— 主控方仍需一路控制局势，直到清零之前的最后一轮，才必须做出调整。

回忆例1，原来有：“… …  

　　第三轮操作：甲将3减至0，得到 {2,0,1}；

　　乙将2减至1，得到 {1,0,1} —— 这是可控局。

　　第四轮操作：甲将某个1减至0，得到 {0,0,1}；

　　乙将最后的1清零，得到 {0,0,0}，乙胜。       ”

现在，乙方需要在第三轮第二步及时调整策略：避开可控局 {0,1,1}， 却要抢先弈出 {0,0,1} （“非可控局”）。随后，甲方只能清零，按新规则甲败，乙方获胜！

详细地说，调整后的策略应是：

　　（1）目标：抢先弈出 {0,0,1} 。为此，主控方需从较高层级的可控局出发，一路控制下来，直到弈出 {0,2,2} 或 {1,2,3} 为止。

注意：绝不可弈出{0,1,1}，它紧邻 {0,0,1}，对方将一步获胜。

　 （2）{0,2,2} 是第一个可控临界点。此后，对方有2种可能方案，即 {0,0,2} 或 {0,1,2}，随后，主控方必能弈出 {0,0,1}。

（3）{1,2,3} 是第二个可控临界点。此后，对方有6种可能的操作方式；待其操作后，主控方将有：

（i）2个机会：若对方弈出{0,1,2} 或 {0,1,3}，主控方应及时弈出 {0,0,1}；

（ii）2个机会：若对方弈出{1,1,2} 或 {1,1,3}，主控方应弈出 {1,1,1}，以迫使对方弈出 {0,1,1}，然后主控方就能够弈出 {0,0,1}；

 (iii）2个机会：若对方弈出 {0,2,3} 或 {1,2,2}，主控方应弈出 {0,2,2}，然后按（2）执行。

（注1：无需硬记上述细节，只需理解并掌握原则、临机应变。）

（注2：一般地，从某个层级较高的可控局出发，总能通过若干轮操作后抵达 {0,2,2} 或 {1,2,3}，随后即可按（2）或（3）执行。但或许会出现对方急于求败的情况：即对方可能从某个可控局出发，弈出一个非可控局 {0,1,m}，m > 1；这时，主控方就能直接弈出 {0,0,1}，更快地锁定胜局。）

2、如何能够（并且，为何有时需要）“使对方被动地获胜”？

假若，获胜准则恢复为：“清零者获胜”，那么，运用上述调整后的策略，主控方在最后一步弈出了{0,0,1}，那么，对方随即就能清零。于是，在主控方控制之下，对方将“被动地获胜”。

又假若，获胜准则已变为“清零者失败”；那么，只要继续采用前面第二节的全套策略、不做任何调整，主动地一路弈出可控局，直到最后主动清零、“主动失败”，遂使得对方“被动地获胜”。

如果游戏的对方是晚辈小朋友，他们大多会觉得有输有赢的游戏才有趣。如果能不动声色地让他们多赢几盘，取得皆大欢喜的效果，应该也是乐事！—— 如果能够给需要关爱的人们带来更多的快乐，那将是更高层级的快乐。