1^ᵏ+2^ᵏ+ ⋯ + n^ᵏ = ?

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这里我们介绍一种基于分部积分法的处理方法，不仅能获得连续自然数幂次的一般求和公式，还能附带证明一个有趣的猜想。说不定读完本文后，聪明的你也会灵感迸发，开辟一个与众不同的新解法。

撰文 | 朱慧坚（玉林师范学院数学与统计学院副教授）、丁玖（美国南密西西比大学数学系教授）

读者朋友看到本文标题，或许会不以为意地发笑一声：这还不简单，不就是

对，您说的大致不错，如果再去查一查微积分教科书，或许还可以继续看到公式

等等，等等。但是，如果有人请教您1^100+2^100+⋯+n^100等于什么，您能马上告诉他相应的公式，或指导他如何下手吗？更进一步地，在仔细察看了上面的六个代数恒等式后，您可能会突然发现，平方和表达式n(n+1)(2n+1)/6恰好是四次方和表达式的一个因子，立方和[n(n+1)]^2/4恰好是五次方和的一个因子。这时，您肯定在纳闷这仅仅是巧合，还是说对六次和七次幂，甚至更高次幂的求和公式也都是如此。好吧，我们再瞧一瞧接下来的三个公式：

结果发现同样的模式依然存在。这似乎是个有意义的观察，勾起我们的好奇心：对一般的正奇数k>1或正偶数k，从1到n的连续自然数k次幂之和的表达式是否分别具有上面所说的因子？

在全世界流传百年之久的传奇故事是这样说的：高斯年幼时，他的老师为了整治班内淘气学童，要求学生计算1+2+⋯+99+100。聪明的小高斯将其反方向写成100+99+⋯+2+1，再与原式上下对齐，纵向相加，加出了100个同一个数，该数乘以100再除以2，便在片刻之间算出答案

这个数学传奇激励着天下俊杰对各种形式的自然数群体相加、相乘寻觅规律，破解谜团。作为一个佳例，从古到今不知有多少人热衷于发明新的方法，回答本文标题所提的数学问题。为了建立一个既封闭又悦眼的求和公式，所涉及到的数学工具实在是五彩缤纷，思路和技巧各种各样，又“条条大道通罗马”，显示出不同数学分支之间的密切相关性。在这些手段中，有的是基于组合数学的生成函数概念，有的是运用线性差分方程的理论，也有的甚至借用了初等微分学里的洛必达法则。几何中最有名的勾股定理据说已有约五百种证明，但我们还不清楚现在有多少种办法能够导出自然数同幂次求和的表达式。说不定读完本文后，有个聪明而好奇心极强的读者会滋生灵感，磨砺出一把新斧头，开辟一个与众不同的解法。这里，我们介绍一种基于分部积分法的处理方法，它历史悠久，不仅能获得连续自然数幂次的一般求和公式，而且还能证明上述关于和式因子结构的猜想为真。它来自于数值积分中一个著名求和公式对单项式函数的巧妙应用，曾被作者用于证明同事提出过的上述猜想，那时作者正为大学高年级学生和研究生开设一门数值分析课程，恰好在课堂上讲授到那个积分近似公式。

欧拉-麦克劳林求和公式

初等微积分里有关于不定积分和定积分的分部积分法，对于定积分，它指的是如下的等式：

学过初等微积分的读者都知道，不定积分的分部积分法就是函数导数的乘积法则

[u(x)v(x)]'=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)

通过移项写成等价形式u(x)v'(x)=[u(x)v(x)]'-u'(x)v(x)后，用不定积分的数学语言

∫u(x)v'(x)dx=u(x)v(x)-∫v(x)u'(x)dx

而重新表述的。这和将陈述句“老布什总统是小布什总统的父亲”等价地写成“小布什总统是老布什总统的儿子”是同一个道理。至于定积分的分部积分法（1），它就是将上述不定积分的分部积分法同微积分的最重要定理——微积分学基本定理

F(x)是f(x)的一个原函数，即在区间[a, b]上恒有F'(x)=f(x)相结合后的自然产物。

在定积分的计算中，如果被积函数可以写成乘积u(x)v'(x)的形式，并且上面（1）式右端的定积分值相较左端可以更容易地计算出来，那么此时的分部积分法算是用对了，这是定积分计算技巧中的通常思路。比如，要计算出定积分

如果令u(x)=x及v'(x)=sinx，则u'(x)=1，并且sinx的一个原函数是v(x)=-cosx。然后，（1）式给出

这就与计算初衷南辕北辙，因为等式右边定积分中的被积函数看上去更加复杂，无法直接知道它的原函数是什么。这充分说明，在运用分部积分法之前，一定要聪明地选对公式（1）左端中的这两个因子函数u(x)和v'(x)。为了本文要讲述的主题，我们先请读者注意，在（1）式中，v(x)只需是v'(x)的一个原函数，因为根据微分学基本定理（即教科书里通常所称的拉格朗日中值定理），同一个连续函数的所有原函数之间只相差某个常数，因此该v(x)的选用有一个自由度，这给下面构造“欧拉-麦克劳林求和公式”提供了极大的方便。

现在，我们就“聪明地”选择分部积分法中的u(x)和v'(x)，并反复运用（1）式，建立一种逼近定积分的数值积分方法——欧拉-麦克劳林求和公式。设想f(x)是一个光滑函数，意思是它直到某一个所需阶数的所有导函数在定义域上都是逐点连续的，其定义域为闭区间[0,

因为被积函数多了一个二次多项式的因子。然而，如果我们略微耐心一点，很快就会发现事实上这是一个聪明之举。

性急的读者或许从上式右端第二项的结构预测：它后面的积分可以继续用分部积分法展

（3）是建立前n个自然数同幂次求和公式的一个理想工具。

历史上，欧拉-麦克劳林求和公式于1732年由瑞士数学家欧拉（Leonhard Euler，1707-1783）发现，但未及时发表。1736年他与苏格兰数学家斯特林（James Sterling，1692-1770）通信时得知苏格兰数学家麦克劳林（Colin Maclaurin，1698-1746）对此获得更一般的结果后，放弃了自己的优先权。两人各自的公式分别发表于1738年和1742年。后人将此用途广泛的等式以他们的名字命名。公式推导中引进的这一族多项式p1(x),p2(x), …被标准化后，与比他们更早半个世纪的瑞士数学家雅各布·伯努利（Jacob Bernoulli，1654-1705）发生了联系，而与后者名字也分不开的一列数字则对本文的主题贡献良多。

瑞士巴塞尔的伯努利家族声名显赫，学者云集，一门三代出了八位数学家。雅各布·伯努利是第一代中的“大哥”，他探索过的众多数学对象包括无穷级数和一类后来冠以他姓的微分方程，概率论中的大数定律是他的一大杰作，而银行家们最感兴趣的连续复利问题由他解决，导致绝对常数e=2.7128⋯的出世（代表此数的通用字母e则来自于欧拉）。

雅各布·伯努利为自己设计的墓碑也蕴含了数学巧思，他希望在墓碑上刻一条数学意义丰富的对数螺线，根据雅各布本人的解释，这根自相似螺线“可以象征逆境中的坚韧和恒心，也可以象征人体在经历所有变化甚至死后，也能恢复到精确完美的状态。”可惜在他去世后，或许是雕刻墓碑的工匠误解了指示，错误刻下了不相干的阿基米德螺线。

雅各布·伯努利的墓碑，螺线周围的拉丁文Eadem mutata resurgo意为“纵使变化，依然故我”｜Wikipedia

雅各布的二弟约翰（Johann Bernoulli，1667-1748）微积分本领超越常人，常与大哥争强好胜，如比赛求解“最速降线问题”，甚至也曾向牛顿叫板，结果是后者提速了变分学的发展。约翰不仅培养和提携了少年欧拉，而且伯努利家族在他这一支涌现出的数学家最多。雅各布的大弟尼古拉斯是个画家，其子尼古拉斯一世（Nicolaus I Bernoulli,1687-1759）在伯父的教导下成长为数学家，对微分方程等学科多有建树。约翰的儿子丹尼尔（Daniel Bernoulli，1700-1782）对概率论有开创性研究，也是欧拉的同事和亲密战友。在伯努利家族中，上述几位是我们在大学教科书中见过面的杰出代表。第三代中的数学家约翰三世（Johann III Bernoulli，1744-1807）则是个多才多艺的罕见神童。

伯努利多项式与伯努利数

显见它们是正负交错的。

现在我们用数学归纳法证明出伯努利多项式在标准的单项式基底下的一般表示形式。

引理1. n阶伯努利多项式具有表达式

伯努利多项式还有一个在下一节里要用到的性质，我们也将它写成引理形式，并同引理1一样通过数学归纳法证之。

引理2. 伯努利多项式满足恒等式

计算1^k+2^k+⋯+n^k

我们现在回到欧拉-麦克劳林求和公式，希望将它用于单项式函数f(x)=xk，其中k为一自然数。先试验一下k=4这个特殊情形，让自己热一热身，然后考虑一般情形，获取一个普适公式。由于f(x)=x^4的五阶及以上导函数恒等于0，这时在欧拉-麦克劳林求和公式（3）中取m=3，得

等式（8）传统上称为福尔哈伯公式（Faulhaber's formula），虽然更合理的名称应该是伯努利公式。我们还是固守原先的伯努利数B1，对（8）式中的求和下标s做变量替换t=k-s+1，以获得另一个等价公式和某个定积分表达式。显见，当老下标s从0递增到k时，新下标t从k+1递减到1，因而（8）式转变成

（7）-（10）中的任何一个式子都回答了本文标题的提问，它给出了自然数从1到n的k次幂求和的一个显式公式，这个表达式是n的k+1次多项式，其系数中的因子包含了伯努利数和组合数。

数学推导上我们休息片刻，轻松愉快地回顾一下这个公式出现之前的千年数学史。在两千年前的古希腊，毕达哥拉斯（Pythagoras，c. 572–c. 497 BC）、阿基米德等人就知道怎样求出前n个自然数的和、平方和甚至立方和。在东方，一千五百年前的印度学者阿耶波多（Aryabhata，476–550）和一千年前的波斯数学家卡拉吉（Al-Karaji，c. 953–c. 1029）及伊斯兰黄金时代的学者伊本·海瑟姆（Ibn al-Haytham，c. 965–c. 1040）等也考虑过这些和式。中国古代数学家对此也有卓越的贡献，如南宋的杨辉（c.1238-c. 1298）和元代的朱世杰（1249-1314）等都深入研究过高阶等差级数，这与求解自然数幂和有异曲同工之妙。六十年前人民教育出版社出版的华罗庚教授《从杨辉三角谈起》这本小书，向中学生数学爱好者提供了对高阶等差级数用差分概念求和的思想，让少年时代的本文作者读得兴奋不已。

系统研究自然数幂次求和问题的首批人马迟至十六、十七世纪才降生，他们包括英国的哈里奥特（Thomas Harriot，1560-1621）、德国的福尔哈伯（JohannFaulhaber，1580–1635）以及法国的费马（Pierre de Fermat，1601–1665）和帕斯卡（Blaise Pascal，1623–1662）。哈里奥特是第一个用符号写出求和公式的人，然而他的公式止步于k=4。福尔哈伯不厌其烦地求得了直到k=17的公式，发表在他于1631年出版的著作Academia Algebrae中，不过他并没有获得一般的求和公式。尽管如此，后人依然有时将（8）式称为福尔哈伯公式，以表彰他对此付出的辛勤劳动。