上-如何激鼓孩子自主思考、独立探索的意识和勇气？给其从“学渣”到“学家”的示范

按：首先，感谢风闻学友们对【题设：现有50条船，大船满载为6人，小船满载为4人，全部坐满时大船比小船多坐100人。问：大船、小船各有几条？】这道题的算术解法的集思广益【见“征集一道小学数学题的算术解法”的评论区】，有多位学友提出了比较精妙的思路及其解法，我先前得出的几个解法与其英雄所见【有学友分享了一种分组的解法（先将50条船均分为同等配置的10组然后求每组5条船中大船比小船多坐10人情况下的配置是大3小2进而乘以10即可算得大30小20），此前我还自以为这种解法是我的独创，真是惭愧啊】。其次，我想说明一下我的观点，窃以为：在习题教学中，解法还不是最关键的，不能仅止于传授给孩子们解法——哪怕是非常精妙的解法——就完了；最关键的是要引导孩子们学会自主思考、独立探索出解题思路及其解法；而自主思考、独立探索首先是需要有此意识——主动性积极性——的，而这种意识又首先取决于勇气；如何激发孩子自主思考、独立探索的勇气呢？我认为一个比较好的方式是将教者在思考和探索解题思路过程中的“混乱、模糊甚至是误入歧途”诚实地向孩子们呈现，这样，第一可以为孩子们将那些貌似“高明而精妙”的解法祛祛魅——知其来历就不会觉得其神秘甚至高不可攀了，第二可以让孩子们通过感受到教者在思考和探索中都是那么狼狈从而坚定自己的信心【说句题外话，教者若总是炫耀和诱惑以“秒懂”、“秒解”则会打击孩子们的自信和勇气从而抑制自主思考独立探索的意识和能力的发展，所以我主张“教者越是举轻若重，学生才能举重若轻”（参见：1、导论：教者应当认识到对其所教的内容该比学生更没有把握；2、“基本原理”之“过程还原、切换视角、转换表述”（三）・技进乎道方能如庖丁解牛游刃有余）】。最后，我认为，“船”这道题是一个非常好的契机，至少我对这道题解题思路的思考和探索过程堪称一个绝佳的教学脚本——不是因为其潇洒而恰恰因为其狼狈，甚或可以说，可作为一个让孩子体会如何从“学渣”到“学家”的示范【阳明有“成色与斤两”之论，认为成色比斤两更重要（我深以为然，所以当我进出各个场合的门禁时看到有孩子为后面的人扶挡着门我必赞曰“此孔子附体也”），其言曰：“盖所以为精金者，在足色，而不在分两。所以为圣者，在纯乎天理，而不在才力也。故虽凡人。而肯为学，使此心纯乎天理，则亦可为圣人。犹一两之金，此之万镒。分两虽悬绝，而其到足色处，可以无愧。故曰‘人皆可以为尧舜’者以此。”】。故，不揣冒昧，呈上我的思考和探索过程的记录【也期盼已经和将要分享思路和解法的学友们能坦承一下自己的思索过程，请在评论区详述或专文论述】，诚愿能给孩子们一些启发，尤其是能在自主思考、独立探索方面激发其意识、鼓舞其勇气。

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本文改编自《“基本原理”之“板桥画论：意在笔先，趣在法外”（一）・技进乎道方能如庖丁解牛游刃有余丨以求学问之心讲有学问之题论讲题之学问》。

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引言

郑板桥【原名郑燮（1693年11月22日—1766年1月22日，清朝康乾之期中人），字克柔，号理庵，又号板桥，人称板桥先生，清代书画家、文学家。祖籍苏州，生于兴化，后客居扬州，以卖画为生，为“扬州八怪”重要代表人物。】对绘画之道的阐释最精妙的莫过于其《板桥题画三则》中的如下一则：

江馆清秋，晨起看竹。烟光日影露气，皆浮动于疏枝密叶之间。胸中勃勃，遂有画意。其实，胸中之竹，并不是眼中之竹也。因而磨墨展纸，落笔倏作变相。手中之竹，又不是胸中之竹也。总之，意在笔先者，定则也；趣在法外者，化机也。独画云乎哉！

“意在笔先者，定则也；趣在法外者，化机也。”

确实，不独绘画之道是这样，数学的思维方式和探究方法其实也是这样。所以，板桥所论及其实践的作画之道可以自然而然地转化为一条思考和探索解题思路的指导思想或者说是“know-how”（在《小学数学“教-学”探索·习题篇：习题的思考与作答丨跋：功夫在诗外——或许这些貌似不相干的与语言相关的阅读材料在开窍上起了关键作用》一文中已有提及板桥的这则“画论”，当时我给所教的那位学生看了板桥的这一“画论”并结合我们讲课中的案例给孩子做了阐释，应该起到了一定的开悟效果，其判断依据是我只给这孩子讲了三次课孩子就生发出了自主思考、独立探索的勇气并构筑起了一定的能力基础）。

本文将通过对一道习题的解题思路及其解法（算术解法而非方程解法）的思考和探索过程来体悟“意在笔先者，定则也；趣在法外者，化机也”这个论断中的道理，感受其与数学的思维方式和探究方法的异曲同工之妙，并在对这一过程中的体验中感悟如何从“学渣”蜕变为“学家”。

题曰：

现有50条船，每条大船可坐6个人，每条小船可坐4个人，全坐满时大船比小船一共多坐100个人。问：大船、小船各几条？

下文将先陈述思索所得的几种还算高明、精妙的解法，然后再呈上这些解法的创造过程——一个非常困窘、狼狈的思索之旅。

一、几种解法

这道题的解法有很多种，归结起来，大致有三类，以下分别陈述。

1、第一类：“基元”法（先简化为数量更少的基本单元去处理然后在合并这些“基元”）

解：

50÷5=10

即：将50条船按每个基元5条船且各基元配置（即大船、小船各自的数量）相同分为10个基元。

100÷10=10

即：50条船中大船比小船多坐100人，则每个基元的5条船中大船比小船多坐10人。

6×2=4×3=12

即：2条大船与3条小船均坐满时所坐人数相等。

6×1+4×1=10 

即：（每）减少1条小船的同时增加1条大船（或者说：将1条小船更换为大船）使得大船比小船多坐的人数增加了10人。

【这一步更准确的算式应为：[6×(M+1)-4×(N-1)]-(6×M-4×N)。其中M、N分别表示大船、小船原先的数量，“N-1”与“M+1”表示减少1条小船的同时增加1条大船（或者说：将1条小船更换为大船）之后大船、小船各自的数量。整个算式表示的是大船、小船各自数量增、减1条前后大船比小船多坐的人数的变化值——这里是增加值。】

2+1=3，3-1=2，6×3-4×2=10

即：3条大船与2条小船均坐满时大船比小船多坐10人。

3×10=30，2×10=20，6×30-4×20=100

即：30条大船与20条小船均坐满时大船比小船多坐100人。

答：大船30条、小船20条。

【这种解法还可以进一步深化、推广以使其适用于任意情况——该题题设情境给的数值比较巧合（船的数量恰好可以均分为多组，即50恰好能被5——2、10、25亦可——整除）因而易于处理——比如：假如船的条数是一个质数如23，那该怎么办呢？这作为一个思考题吧（我能想到的办法是“修履适足”，这算是一个“提示”）。】

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2、第二类解法：假设法（N种），虽是一种通用/常用解法但我得出了这类解法的一般性原理（故有“N种”之说）

该解法的一般性原理

任意假设一个初始情况：

大船、小船条数分别为M、N且M+N=50

则在此假设的初始情况下，大船比小船多坐的人数为：

6M-4N

则需要将小船变换为大船的数量——记之为P——可写为如下通用表达式：

P=[100-(6M-4N)]÷10

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解释说明

1、若算出P＜0，则表示与假设的“将小船变换为大船的数量”相反的结果，即：将大船变换为小船的数量。

2、需要将小船变换为大船的数量的通用表达式的由来：

（1）初始假设情况下大船比小船多坐人数与实际情况下大船比小船多坐人数之间的差距——记之为D，

D=100-(6M-4N)；

【具体数值计算时，若6M-4N＜0，则写成：D=100+(4N-6M)。这是规避“负数”概念及其知识的方式，算术上比较容易理解，不必多做解释吧。若熟悉“负数”的概念及其运算法则保持原式“D=100-(6M-4N)”即可。】

（2）每替换1条（即减少1条小船的同时增加1条大船）对D值的影响——这里是增加值——记之为Q，Q=6×1+4×1=10；

【完整算式为：Q=[6×(M+1)-4×(N-1)]-(6×M-4×N)】

（3）P=D÷Q

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运用举例

之一

假设初始情况是：M=7、N=43，即大船7条、小船43条

则，需要将小船替换为大船的数量P为：

P=[100-(6M-4N)]÷10

P=[100-(6×7-4×43)]÷10

P=[100+(4×43-6×7)]÷10

P=[100+(172-42)]÷10

P=(100+130)÷10

P=230÷10

P=23（条）

即：需要减少23条小船、增加23条大船。

则：

大船数量为：7+23=30（条）

小船数量为：43-23=20（条）

验算：6×30-4×20=180-80=100；无误。

【假设小船数量远多于大船数量这种情况下的极端假设是：大船0条、小船50条。对应的算式是：P=[100-(6M-4N)]÷10=[100-(0-4×50)]÷10=(100+200)÷10=300÷10=30（条）。即：大船增加30条至30（0+30=30）条，小船减少30条至20（50-30=20）条。】

假设初始情况是：M=39、N=11，即大船39条、小船11条

则，需要将大船替换为小船的数量P为：

【若仍按“小船替换为大船的数量”的算式，P=[100-(6M-4N)]÷10，则算得的P值为“负数”，表示实际上是“将大船替换为小船的数量”。为便于理解，改为以“将大船替换为小船的数量”及其算式来表述本解法。】

P=[(6M-4N)-100]÷10

P=[(6×39-4×11)-100]÷10

P=[(234-44)-100]÷10

P=(190-100)÷10

P=90÷10

P=9（条）

即：需要减少9条大船、增加9条小船。

则：

大船数量为：39-9=30（条）

小船数量为：11+9=20（条）

验算：6×30-4×20=180-80=100；无误。

【假设大船数量远多于小船数量这种情况下的极端假设是：大船50条、小船0条。对应的算式是：P=[(6M-4N)-100]÷10=[(6×50-4×0)-100]÷10=(300-100)÷10=200÷10=20（条）。即：大船减少20条至30（50-20=30）条，小船增加20条至20（0+20=20）条。（一个微信视频号叫“清华永福哥父母课堂”的清华小哥给出的就是这个解法，见下图）】

一位清华小哥给出的解法

愚见以为：清华毕业生都随波逐流于授人以鱼而不着力于授人以渔实在是境界不高、有点辱没清华之门楣！

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3、第三类解法（1种）：“数论”法——这或是本文首创的一种独特解法（至少我没见过类似的）

将50条船都坐满后的大船人数记为“某数”——相应地小船人数可记为“某数与100之差”，则题设情境可以被抽象为一个求该数的“数论”问题：

一个数可被6整除，而该数与100之差能被4整除，且前一整除所得之商与后一整除所得之商的和为50，求该数。

如引入数学符号则可表示为（记该数为Q）：

Q÷6+(Q-100)÷4=50        ……(1)

【用数学符号表示则实际上就得到了一个“代数等式”，与“方程”等价了。虽然这个“代数等式”与“方程”无异，但我们并非是用“代数-方程”的思想而是用“算术-数论”的思想来得到它的，所以在这里它只是一个数论问题的文字表述的符号化表达。（当然，这也提示了：如果用“代数-方程”的思想解这道题，则设大船所坐人数为未知数且仅设这一个未知数列出一个一元一次方程即可求解——而本题方程解法的常规思路是二元一次方程组。）以下解Q值也不采用解方程的方法（移项、合并同类项）而仍然用算术解法。】

先根据四则运算法则去括号并运算：

Q÷6+Q÷4-100÷4=50

Q÷6+Q÷4-25=50

将“Q÷6+Q÷4”视为一个整体（或一个数）则有：

Q÷6+Q÷4=75        ……(2)

【以下将用“试数”法。（当然，更简单的方法也有：将Q均分24份，则“Q÷6”可视为其中4份、“Q÷4”可视为其中6份，则10份为75，故Q=(75÷10)×24=180。但该方法涉嫌我所批判的“(伪)数形结合”法，故放弃）】

因为：Q既能被6整除又能被4整除

所以：Q是6与4的最小公倍数12的整数倍——记其为P

取P=10，则Q=12×10=120

将Q=120放入式(2)验算：

120÷6+120÷4=20+30=50≠75，×

取P=20，则Q=12×20=240

将Q=240放入式(2)验算：

240÷6+240÷4=40+60=100≠75，×

取P=15，则Q=12×15=180

将Q=180放入式(2)验算：

180÷6+180÷4=30+45=75=75，√

所以，Q为180，也即大船所坐人数为180人。

则，小船所坐人数为：180-100=80（人）

故：

大船数量为：180÷6=30（条）

小船数量为：  80÷4=20（条）【或：50-30=20（条）】

二、思考、探索解题思路及其解法的过程

上述三类解法应该说还算比较高明、精妙（这里是就其作为算术解法而言，尤其指的是解法背后的思维及其创新性。如果单论解法本身，那没有比“方程”更高明的了，以方程来代替算术是人类在数学上的重大飞跃，是数学思想/概念的升级。但算术解法对训练抽象思维确实非常有必要且大有助益），面上看起来也很光鲜亮丽，但其创生的过程却没那么漂亮。

在对这道题的思考过程中，我经历了很多混乱而模糊的探索，也多次误入歧途，原来的设想在思考过程中逐渐偏离“正轨”但又终上“正道”。

正如《板桥题画》中所说的：“意在笔先者，定则也；趣在法外者，化机也。”

但我们不能满足于知道这些解法，我们更应该去了解这些解法都是如何被创造出来的，去体验和领会其中的“化机”。

我在多篇文章中皆有提到，教学中最可贵也最有效的是一个“诚”字：

教者对自己要“诚”，不宜将自己思考过程中的那些“混乱、模糊和误入歧途”全部隐藏而只一味高调地装13显得自己很牛；

教者对学生更要“诚”，诚实地将自己思考过程中的那些“混乱、模糊和误入歧途”向学生呈现，这才是对学生的学习——除了知识还应该也更应该培养创新意识和创新能力即领会创新的“know-how”——更有价值的内容（参见：我们需要怎样的数学教育？｜展卷）。

以下是我对这道题的思考过程的忠实记录（由于行文架构以及阅读顺畅的需要，做了些分节和标识。当然，完全忠实是不可能的，只能说是没有刻意隐藏什么影响“伟光正”形象的内容，另外，若干思路的记录顺序与实际发生的次序有些微出入）。

另外，还得提醒一点：

本文原本意在对“辨识变与不变，探寻等量关系”这一“基本原理”进行推广应用，但却是“有心栽花花不开，无心插柳柳成荫”，“种瓜得豆”，演变成了对“板桥画论：意在笔先，趣在法外”这条新的“基本原理”的恰切阐释，所以特意保留了按原意行文的印迹。

自主思考、独立探索解题思路的过程

这道题我经历了两种状态下对解题思路的思考和探索的过程：

其一，在“辨识变与不变，探寻等量关系”这一“基本原理”还未被“澄明”之前，以基于假设、调整-猜测、验证——其中当然也有对这一“基本原理”中若干思想的无意识地运用——的方法——将其称为解题思路似乎有些勉强——得到了答案；

其二，在“辨识变与不变，探寻等量关系”这一“基本原理”已经被“澄明”之后，以其为指引重新思考并探索出解题思路。

以下分别记述之。

……（未完待续）