下-如何激鼓孩子自主思考、独立探索的意识和勇气？给其从“学渣”到“学家”的示范

末那识

学以养识，以识统学。（心迷法华转，心悟转法华）2023-05-13 12:12

按：首先，感谢风闻学友们对【题设：现有50条船，大船满载为6人，小船满载为4人，全部坐满时大船比小船多坐100人。问：大船、小船各有几条？】这道题的算术解法的集思广益【见“征集一道小学数学题的算术解法”的评论区】，有多位学友提出了比较精妙的思路及其解法，我先前得出的几个解法与其英雄所见【有学友分享了一种分组的解法（先将50条船均分为同等配置的10组然后求每组5条船中大船比小船多坐10人情况下的配置是大3小2进而乘以10即可算得大30小20），此前我还自以为这种解法是我的独创，真是惭愧啊】。其次，我想说明一下我的观点，窃以为：在习题教学中，解法还不是最关键的，不能仅止于传授给孩子们解法——哪怕是非常精妙的解法——就完了；最关键的是要引导孩子们学会自主思考、独立探索出解题思路及其解法；而自主思考、独立探索首先是需要有此意识——主动性积极性——的，而这种意识又首先取决于勇气；如何激发孩子自主思考、独立探索的勇气呢？我认为一个比较好的方式是将教者在思考和探索解题思路过程中的“混乱、模糊甚至是误入歧途”诚实地向孩子们呈现，这样，第一可以为孩子们将那些貌似“高明而精妙”的解法祛祛魅——知其来历就不会觉得其神秘甚至高不可攀了，第二可以让孩子们通过感受到教者在思考和探索中都是那么狼狈从而坚定自己的信心【说句题外话，教者若总是炫耀和诱惑以“秒懂”、“秒解”则会打击孩子们的自信和勇气从而抑制自主思考独立探索的意识和能力的发展，所以我主张“教者越是举轻若重，学生才能举重若轻”（参见：1、导论：教者应当认识到对其所教的内容该比学生更没有把握；2、“基本原理”之“过程还原、切换视角、转换表述”（三）・技进乎道方能如庖丁解牛游刃有余）】。最后，我认为，“船”这道题是一个非常好的契机，至少我对这道题解题思路的思考和探索过程堪称一个绝佳的教学脚本——不是因为其潇洒而恰恰因为其狼狈，甚或可以说，可作为一个让孩子体会如何从“学渣”到“学家”的示范【阳明有“成色与斤两”之论，认为成色比斤两更重要（我深以为然，所以当我进出各个场合的门禁时看到有孩子为后面的人扶挡着门我必赞曰“此孔子附体也”），其言曰：“盖所以为精金者，在足色，而不在分两。所以为圣者，在纯乎天理，而不在才力也。故虽凡人。而肯为学，使此心纯乎天理，则亦可为圣人。犹一两之金，此之万镒。分两虽悬绝，而其到足色处，可以无愧。故曰‘人皆可以为尧舜’者以此。”】。故，不揣冒昧，呈上我的思考和探索过程的记录【也期盼已经和将要分享思路和解法的学友们能坦承一下自己的思索过程，请在评论区详述或专文论述】，诚愿能给孩子们一些启发，尤其是能在自主思考、独立探索方面激发其意识、鼓舞其勇气。

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本文改编自《“基本原理”之“板桥画论：意在笔先，趣在法外”（一）・技进乎道方能如庖丁解牛游刃有余丨以求学问之心讲有学问之题论讲题之学问》。

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接上篇

基于假设、调整-猜测、验证的方法的思考过程。

思路一

【坦承一下基于该方法思索该题解题思路时的情况：前两次各想了大约有五分钟，但均无头绪——思绪是乱飞的；第三次照着一条路以一往无前的架势思索了下去，磕磕碰碰、不断调整，大概三分钟后想出了答案。下文将忠实地记述这一“条理与混乱兼具”的思索过程——这难能可贵（要明白其为何可贵请参见：我们需要怎样的数学教育？｜展卷）！】

假设大船、小船条数相等即各为25条，则有：

大船满员人数为：6×25=150（人）

小船满员人数为：4×25=100（人）

大船比小船多坐：150-100=50（人）

但实际上大船比小船多坐了100人，这说明大船比小船多。

那么，接下来的问题就是：大船比小船多几条——也即大船、小船各有几条（因为大船、小船总条数为50条是不变的）——呢？

若小船减少1条至24条、大船增加1条至26条——这时大船与小船的数量相差2条，则坐小船人数减少4人至96（100-4=96）人、坐大船人数增加4人至154（150+4=154）人——这时大船、小船的人数之差为58（154-96=58；或：50+8=58，在原本多50人的基础上再多8人）人。

也就是说，每减少1条小船并同时增加1条大船——即大船、小船每相差2条——则大船比小船多坐8人，而目标是在原本已多50人的基础上再多50人，则至少要减少小船的条数——也是要同时增加大船的条数——为7（8×6=48＜50，8×7=56＞50）条。

此时：

小船条数为18（25-7=18）条，坐船人数为72（4×18=72）人；

大船条数为32（25+7=32）条，坐船人数为192（6×32=192）人；

大船比小船多坐人数为：192-72=122（人）。

诶~~~，122≠100啊！看来哪里出错了，检查一下……

哦~~~，对，一条小船满载的4人转移到一条满载6人的大船上是不能将大船坐满的啊，所置换出的7条大船上还余下14【(6-4)×7=14】个人的空位呢，而要求的是大船、小船都要坐满呀！

看来一对一的置换是不妥当的，那要怎么置换呢？

都要坐满……对，都坐满就意味着将每多少条小船满载的人转移到每多少条大船后能将大船也坐满，小船满载为4人、大船满载为6人，4和6的最小公倍数为12，则每12人作为置换的单元是可以的，其对应的小船数量为3（12÷4=3）条、大船数量为2（12÷6=2）条。

所以，置换方案可以是：

以12人能分别坐满的3条小船和2条大船为一个单元进行置换。

【咦，可以以“2条大船与3条小船各自坐满时的人数相等均为12人”这一点作为思考的起始点啊。想啊想，想啊想，……，诶~~~怎么乱了啊。唉，两个思路纠缠在一起相互干扰，乱成一锅粥了，还是先照着原思路想下去吧，然后再单独想这个新的思路。】

每置换一个单元，坐满大船、小船的人数相差24（12×2=24，小船减少12人，大船增加12人）人。

从原来的大船、小船各25条时的人数相差50到人数相差100要多差出50，则至少要置换的单元为3（24×2=48＜50，24×3=72＞50）个。

置换完3个单元（一个单元对应减少3条小船并同时增加2条大船）后：

小船为16（25-3×3=16）条，满座64（4×16=64）人；

大船为31（25+2×3=31）条，满座186（6×31=186）人；

大船、小船条数合计为47（16+31=47）条；

大船、小船满座人数相差122（186-64=122）人。

与实际情况相比：

船数差了也即还空了3（50-16-31=3）条；

大船比小船多坐的人数多出22（122-100=22）人。

假设空的3条船全部为小船——此时小船条数变为19（16+3=19）条，则其坐满时为12人，但大船比小船仍多坐10（22-12=10）人。

若继续减少一条大船、同时增加一条小船，则此时：

大船：条数30（31-1=30）条，满座人数180（6×30=180）人；

小船：条数20（16+3+1=30）条，满座人数80（4×20=80）人；

大船比小船多坐的人数为：180-80=100（人）；

满足题设要求。

故满足题设要求的大船、小船数量分别为30条、20条。

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思路二

【上述思考过程中在想到“2条大船和3条小船各自满员时的人数相等”时，就冒出了一个念头要以此为基础从头重新分析——前两次思考的不成功也恰是因为这个念头的出现导致三心二意把思绪搅混乱了，只是为了将上述思考进行到底才暂时搁置，现在可以“重打锣鼓另开张”了。】

大船满载为6人、小船满载为4人

由于6与4的最小公倍数为12

所以，2（12÷6=2）条大船与3（12÷4=3）条小船均满载时人数相等。

于是，可以将2条大船与3条小船共5条船作为一个组合，由于该组合内大船满载人数与小船满载人数是相等的，所以可以不用参与大船比小船多坐了多少人的比较之中。

若此组合为10（50÷5=10）个则刚好坐满50条船，此时：

大船20（2×10=20）条坐满的人数120（6×20=120）人与小船30（3×10=30）条坐满的人数120（4×30=120）人是相等的，也即大船比小船多坐的人数为0（120-120=0）人。

现在在此基础上进行调整。

调整的规则是：

1、减少小船的同时增加大船——因为实际情况是坐大船的人数比坐小船的人数多（多100人）；

2、从满载的小船转移出的人要刚好坐满大船——因为实际情况是大船、小船都要坐满人。

根据规则2：

每减少满载为4人的小船3条所要转移的12人需要增加满载为6人的大船2条来承载。将此记为一个调整批次。

则，每个调整批次带来的结果是：

多出1（3-2=1）条空船——也即50条船中除了已经坐满人的还空出了1条尚未坐人的；

大船与小船人数相差24（12×2=24，或：12+12=24）人。

若要使得大船比小船多坐100人，则：

至少所需调整批次为5（24×4=96＜100，24×5=120＞100）批次。

调整5个批次后的结果是：

大船：条数为30（20+2×5=30）条，人数为180（6×30=180）人；

小船：条数为15（30-3×5=15）条，人数为60（4×15=60）人；

已坐满的大船和小船人数相差为：120（180-60=120）人；

多出即空出（尚未坐人）的船的数量为：5【50-(30+15)=5】条。

如此调整下大船比小船多坐的人数比实际多坐的人数（100人）多出了20（120-100=20）人，而这多出的20人可以去坐且刚好坐满空出的5条小船（20可被4整除且商恰好为5，即：20÷4=5）。

则，在大船保持条数为30条、人数为180人的情况下：

小船的条数增加了5条至20（15+5=20）条、人数增加了20人至80（60+20=80）人；

大船比小船多坐的人数刚好为100（180-80=100）人。

故，当50条船中满载为6人的大船为30条、满载为4人的小船为20条且大船、小船均坐满时，大船比小船一共多坐100（6×30-4×20=100）人。

【算出结果后就觉得这个结果好简单啊，“应该”可以直接“察觉”到的或随便“试数”几次就可算得的。但即使确实是这样得知答案的，也不能满足于此，因为这道题题设中的数给的比较“友好”所以可以“投机取巧”——假若给的数不那么“友好”时那就很难“弄巧”了。所以，还是得踏踏实实地寻求一个可靠的解题思路，这既是求学问的内在应然，也是以备不时之需、以防措手不及。】

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基于“辨识变与不变，探寻等量关系”的“基本原理”的思考过程。

思路三

先来“辨识变与不变”。

将一定但未知数量的人将大船和小船全部坐满视为一个过程——从全部船为空开始然后一拨一拨人去坐船直至全部船都坐满人，在此过程中：

不断变化的是：

坐满大船的人数与坐满小船的人数之差——随已坐满的大船与小船各自数量的不同而变化；

保持不变的是：

每1条大船比每1条小船多坐2（6-4=2）人，

每2条大船坐满时的人数与每3条小船坐满时的人数是相等的。

再来“寻找等量关系”。

1、坐满的大船数量与坐满的小船数量之和为50条。

若记前者为“B1条”、后者为“B2条”，则有：

B1+B2=50。

2、B1条大船所坐人数与B2条小船所坐人数之差为100人。

若记前者为“P1人”、后者为“P2人”，则有：

P1-P2=100。

3、满载为6人的大船2条坐满时的人数【12（6×2=12）人】与满载为4人的小船3条坐满时的人数【12（4×3=12）人】相等均为12人。

根据第3个等量关系，将24（12×2=24，或：12+12=24）人分别由12人坐2条大船、12人坐3条小船、共5条船作为一个“基元”，记之为f。

由第2个等量关系可知，大船数量多于小船数量【因为假设二者数量相等即各为25（50÷2=25）条时，大船比小船仅多坐50（6×25-4×25=50）人】。

每一个f内的5条船中大船比小船已经少1（3-2=1）条了，要想使得最终大船比小船多，那么：

在一定数量的f（f之内大船与小船所坐人数相等）之外的船均必须全是大船且必须让那多的100人全部坐进去。

100人，大船满载为6人，则至少需要大船17（6×16=96＜100，6×17=102＞100；或：100÷6=16……4）条。

若f之外的大船为17条，则f的数量至少得有7【(50-17)÷5=6……3；或：5×6+17=47＜50，5×7+17=52＞50】个。

若f的数量为7个、f之外的大船有17条，则总船数为：

5×7+17=52（条）

这比实际船数多了2条，需要调整：

将f之外的大船数量调降为15条，然后从7个f中抽出1个f中的5条船并对其进行重新配置，配置目标为这5条船坐满人后大船人数比小船人数多10（100-6×15=10）人。

现在的问题演变为：

一共5条船，大船满载为6人，小船满载为4人，要使得都坐满时大船人数比小船人数多10人，大船、小船应如何配置——即各几条？

【咦~~~这意味着可以将题设原情境转化为这个更简单的情境啊，无非是每5条船一组将50条船分为10个小组嘛，每个小组满足大船比小船多坐10人就行。这个灵感及其解题思路待目前正在进行的思路完成后再单独详述。】

根据前述第3个等量关系即

“2条大船与3条小船都坐满时大船人数与小船人数相等”

并考虑当前要求为大船人数比小船人数多，那么就需要减少小船的数量并同时增加大船的数量且这两个数量要相等——保证5条船不多不少。

那么先试试增、减1条的情况：

小船由3条减少1条后变为2条，坐满后人数为：4×2=8（人）；

大船由2条增加1条后变为3条，坐满后人数为：6×3=18（人）；

大船比小船多坐人数为：18-8=10（人）。

满足要求。

总结一下思考的结果：

6个f（从7个f中抽出1个f后还有6个f）中的30（5×6=30）条船中有大船12（2×6=12）条、小船18（3×6=18）条，大船、小船所坐人数相等；

15条大船坐满的人数为90（6×15=90）人，比0条小船多坐90人；

余下5（50-30-15=5）条船（从7个f中抽出的1个f中的5条船）中大船3条、小船2条，大船比小船多坐10（6×3-4×2=10；或：18-8=10）人；

大船比小船总计多坐100（90+10=100）人。

合计一下大船、小船各自的数量：

大船：12+15+3=30（条）

小船：18+2=20（条）

验算一下：

大船、小船总数量：

30+20=50（条）

大船比小船多坐人数：

6×30-4×20=180-80=100（人）

无误。

故：满足题设要求的大船、小船各自数量分别为30条、20条。

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思路四

【现在来单独详述一下上面思路过程中获得的灵感及由其启发的一个新的解题思路。】

题设问题可转换（其实应该启用一下“基本原理”之“过程还原、切换视角、转换表述”中的思想来主动有意识完成这一转换继而发现这个新的解题思路）为：

将50条船按每组5条船分为10个小组，然后

先求：

每组5条船中大船、小船各为几条时可使得都坐满时大船人数比小船人数多10人；

继而：

将所得之大船、小船数量分别乘以10即可得到结果。

由于：大船满载为6人，小船满载为4人

所以：2条大船与3条小船各自坐满时人数相等——均为12人。

若要使得大船人数比小船人数多10人，则需减少小船数量并同时增加同样数量的大船。

若减少1条小船并同时增加1条大船，则：

大船变为3条，坐满时人数为18人；

小船变为2条，坐满时人数为8人。

大船比小船多坐10人，满足要求。

所以，一组5条船中大船、小船分别为3条、2条时大船比小船多坐10人。

则10个这样的小组合并后，大船比小船多坐100人。

10个小组合并后的大船、小船数量分别为：

大船：3×10=30（条）

小船：2×10=20（条）

验证：略。

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想通上述思路四后有一种酣畅淋漓的感觉，然后就觉得前面几个思路简直弱爆了，搞得那么麻烦。但正在对其“审判”时，突然发觉：不必局限于从中间数开始调整的方式啊，也完全可以从两端的数——即假设全为大船或小船时的数——开始来调整啊。以下来试试。

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思路五

假设50条船全部为大船，则坐满后为300（6×50=300）人，此时大船比小船（0条）多坐300（300-0=300）人。

这比实际上的大船比小船多坐100人多了200（300-100=200）人。

所以要减少大船数量，同时要增加同样的小船数量。

我们先来搞清楚一增一减之间人数之差会如何变化。

减少1条大船、同时增加1条小船，则

坐大船人数减少6人、坐小船人数增加4人，

减1增1之后的结果是大船比小船多坐的人数少了10（6+4=10）人，也即大船比小船多坐的人数减少为290（300-10=290。验算：6×49-4×1=294-4=290。无误）人；

减少2条大船、同时增加2条小船，则

坐大船人数减少12人、坐小船人数增加8人，

减2增2之后的结果是大船比小船多坐的人数少了20（12+8=20）人，也即大船比小船多坐的人数减少为280（300-20=280。验算：6×48-4×2=288-8=280。无误）人；

减少3条大船、同时增加3条小船，则

坐大船人数减少18人、坐小船人数增加12人，

减3增3之后的结果是大船比小船多坐的人数少了30（18+12=30）人，也即大船比小船多坐的人数减少为270（300-30=270。验算：6×47-4×3=282-12=270。无误）人；

……

所以：

【这里用到了归纳法。“归纳”是逻辑中的一种。逻辑按不同的方法有不同的分类，一般而言可分为两大类：形式逻辑和辩证逻辑（形式逻辑中还能细分出一种“数理逻辑”，也叫“符号逻辑”——将形式逻辑符号化，这是数学中的一个分支，我们在数学中经常要用到“数理逻辑”/“符号逻辑”）。形式逻辑又分两类：演绎逻辑和归纳逻辑（一般将“类比逻辑”视为“归纳逻辑”中的一种，也有将“类比逻辑”与演绎逻辑和归纳逻辑并列为三种逻辑的观点）。逻辑的定义是：思维的规律。对事物的因果我们会去思考，思考是用思维去考究的，而思维事物的因果就要采用逻辑。所以，逻辑与思维有时是同义语，且常以“逻辑思维”的形式连在一起使用。“逻辑”这个词本源于希腊语“logoc”（现代英语中演变为“logic”），其本义是“语词”或“言语”。所以，逻辑与语言又是同义语，逻辑是语言中本有的东西（从语言中发掘出逻辑并对其进行专门的研究就形成了逻辑学。将对宇宙的本源和规律的探究转向对人类语言及其中蕴含的逻辑的研究是古希腊的巴门尼德首先开创的道路）。总之，思维依赖于语言也即语言是思维的载体（且是思维的本体），思维是基于逻辑的，而逻辑是蕴含在语言之中的。所以说，思维的训练就是逻辑的训练，逻辑的训练就是语言的训练，思维能力与语言能力是同一的，学习思维就是学习语言（的表述）——这也是“以求学问之心讲有学问之题论讲题之学问”这一篇章重点着力之所在。】

每减少1条大船的同时增加1条小船的结果是大船比小船多坐的人数减少10人。

【这当中可能因误解而受到的干扰是：以为大船减少的6人必须全部转移到小船上去，于是4人坐满1条小船后，余下的2人还要坐1条小船，这样人数之差就是12，且船的数量也多出1条，问题就复杂了。实际并非这样，因为要控制的是所有船坐满且最后的结果是大船比小船多坐100人，而中间的大船、小船调整过程中人数是可以变化的；也即在初始假设情况下的坐满大船小船的总人数本来就是一个可变的量——因为它不是实际的量，而不变的是每减少1条大船并同时增加1条小船导致的大船、小船人数之差减少的10（6+4=10）人。由此想到，前面两个思路中在调整时将“转移全部调整出的人员”视为必须也是出于“误解”，而此“误解”也导致了人为增加了问题的复杂性，需要修改。待本思路完成后再来修改前述两个思路。】

那么，从全部为大船即大船50条、小船0条及大船比小船多坐300人的初始情况下转换到大船比小船多坐100人的最终实际情况，大船比小船多坐的人数需要减少200（300-100=200）人，则要减少的大船数量也即同时要增加的小船数量为20（200÷10=20）条。

则在最终实际情况下：

大船数量为：50-20=30（条）

小船数量为： 0+20=20（条）

验证一下：

大船坐满时人数为：6×30=180（人）；

小船坐满时人数为：4×20 = 80（人）；

大船比小船多坐的人数为：180-80=100（人）；

无误。

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思路六

假设50条船全部为小船，则坐满后为200（4×50=200）人，此时小船比大船（0条）多坐200（200-0=200）人。

这比实际上的大船比小船多坐100人差（少）了300（200+100=300，除了弥补/找平200人之外还得额外多出100人）人。

所以要减少小船数量，同时要增加同样的大船数量。

我们先来搞清楚一增一减之间人数之差会如何变化。

减少1条小船、同时增加1条大船，则

坐小船人数减少4人、坐大船人数增加6人，

减1增1之后的结果是小船比大船多坐的人数少了10（6+4=10）人，也即小船比大船多坐的人数减少为190（200-10=190。验算：4×49-6×1=196-6=190。无误）人；

减少2条小船、同时增加2条大船，则

坐小船人数减少8人、坐大船人数增加12人，

减2增2之后的结果是小船比大船多坐的人数少了20（12+8=20）人，也即小船比大船多坐的人数减少为180（200-20=180。验算：4×48-6×2=192-12=180。无误）人；

减少3条小船、同时增加3条大船，则

坐小船人数减少12人、坐大船人数增加18人，

减3增3之后的结果是小船比大船多坐的人数少了30（18+12=30）人，也即小船比大船多坐的人数减少为170（200-30=170。验算：4×47-6×3=188-18=170。无误）人；

……

所以：

每减少1条小船的同时增加1条大船的结果是小船比大船多坐的人数减少10人。

那么，从全部为小船即小船50条、大船0条及小船比大船多坐200人的初始情况下转换到大船比小船多坐100人的最终实际情况，小船比大船多坐的人数需要减少300（200+100=300）人，则要减少的小船数量也即同时要增加的大船数量为30（300÷10=30）条。

则在最终实际情况下：

大船数量为： 0+30=30（条）

小船数量为：50-30=20（条）

验证一下：

大船坐满时人数为：6×30=180（人）；

小船坐满时人数为：4×20 = 80（人）；

大船比小船多坐的人数为：180-80=100（人）；

无误。

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【以下是以思路五、六的思想重新思考思路一、二。】

思路七

假设大船、小船数量相等即各为25（50÷2=25）条，则：

大船坐满时人数为：6×25=150（人）

小船坐满时人数为：4×25=100（人）

大船比小船多坐人数为：150-100=50（人）

而实际大船比小船多坐人数为100人，还差50人。

又，每减少1条小船且同时增加1条大船则大船比小船多坐人数增加10人。

则需要减少的小船数量也即需要同时增加的大船数量为：

50÷10=5（条）

则最终情况是：

小船数量为：25-5=20（条）

大船数量为：25+5=30（条）

验证：略。

~~~~~~~~~~~~~~~~~

思路八

因为：6与4的最小公倍数为12

并且：12÷6=2，12÷4=3

所以：2条大船与3条小船坐满时人数相等均为12人

则知：20条大船与30条小船坐满时人数也相等

要求：50条船都坐满时大船比小船多坐100人

且知：每增加1条大船且同时减少1条小船时大船比小船多坐的人数增加10人

故而，需要增加的大船数量也即同时需要减少的小船数量为：

100÷10=10（条）

则知实际的大船、小船数量分别为：

小船：30-10=20（条）

大船：20+10=30（条）

验证：略。

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提炼出解决本题之假设法的一般性原理

想通上述思路五、六、七、八之后正得意时，突然想起我的高中班主任当年警告我（和另一位同学）的一句话：“得意莫要忘形！”于是惕然自省，然后生发了进一步探究一下思路五、六、七、八之后的道理的念头。经过一番深入思考，提炼出了这四个思路背后的一般性原理，而由这个原理出发，可以衍生N种思路——即从任意假设情况（即大船、小船的初始假设数量）都可以算得正确结果。

这个一般性原理如下所述。

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原理表述

任意假设一个初始情况：

大船、小船条数分别为M、N且M+N=50

则在此假设的初始情况下，大船比小船多坐的人数为：

6M-4N

需要将小船变换为大船的数量——记之为P——为：

P=[100-(6M-4N)]÷10

解释说明

1、若算出P＜0，则表示与假设的“将小船变换为大船的数量”相反的结果，即：将大船变换为小船的数量。

2、需要将小船变换为大船的数量由以下两个条件决定：

（1）初始假设情况下大船比小船多坐人数与实际情况下大船比小船多坐人数之间的差距——记之为D，

D=100-(6M-4N)；

【具体数值计算时，若6M-4N＜0，则写成：D=100+(4N-6M)。这是规避“负数”概念及其知识的方式，算术上比较容易理解，不必多做解释吧。若熟悉“负数”的概念及其运算法则保持原式“D=100-(6M-4N)”即可。】

（2）每替换1条（即减少1条小船的同时增加1条大船）对D值的影响——这里是增加值——记之为Q，Q=6×1+4×1=10；

【完整算式为：Q=[6×(M+1)-4×(N-1)]-(6×M-4×N)】

运用举例

略

【对M、N任意取值皆可，思路五、六、七、八是其中四个取值特例】

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思路九

先来“辨识变与不变”。

将一定但未知数量的人将大船和小船全部坐满视为一个过程——从全部船为空开始然后一个一个人去坐船直至全部船都坐满人。

在此过程中，不变的是有待坐满人的船（大船和小船）的总数量50条以及大船、小船各自满载时所坐的人的数量6人、4人，不断在变的是过程中已经坐满人的大船和小船的数量，最后以全坐满时大船比小船一共多坐100人作为限制条件来调节大船和小船二者的数量。

再来“寻找等量关系”。

1条大船比1条小船多坐2（6-4=2）人；

一共50条船，若大船、小船数量相同即各25条；

则，大船比小船只能多坐的仅有：

2×25=50（人）【或：6×25-4×25=50（人）】。

不够100人。

所以，由上述等量关系不能求得结果，但是，从中我们可知大船肯定比小船多，这是一个有效（有价值）的结果。

还有什么等量关系呢？

1条大船满座是6人，1条小船满座是4人。

那2条大船的满座人数（6×2=12）与3条小船的满座人数（4×3=12）不就是相等（均为12人）的吗？

好，又发现了一个等量关系，我们来看看她可否导引我们通往目标。

既然2条大船与3条小船各自坐满时的人数相等，那我们将其作为一组单独分离出来不参与大船与小船人数的比较，这样的组有若干个，至于是多少个组暂时不知道，先不管（没法求当然就只能暂时放在这儿啊）。

现在的问题就是大船比小船多坐的这100个人是多少人坐了多少条大船、多少条小船而多出来的。

要使得大船比小船多坐100人，那大船肯定要坐不少于100人啊（但凡有1条坐满了4人的小船，则坐大船的必须是104人才能比坐小船的多出100人），大船满座为6人，则大船数量不少于17（6×16=96＜100，6×17=102＞100）条。

咦，现在似乎可以这样考虑，大船所坐的超过100之数的人如果刚好能坐满若干条小船那就能满足大船比小船多坐的刚好多100人【比如，假如大船坐满的总人数为104——这当然不可能了（因为大船满座是6人，104人不能坐满大船——104不能被6整除）但这只是打个比方，那配1条满座为4人的小船坐满4人，即可满足大船比小船多坐100人】。

那现在的问题可转换为：

一个大于100的数能被6整除且该数与100之差能被4整除，求这两个整除的商各是多少，以及可能还要先求的这个数是多少。

【前一个整除的商即为大船条数，后一个整除的商即为小船条数。】

或者表述为：

6乘以整数倍的积中大于100的数与100之差刚好能被4整除，求这个整数倍是多少以及所述之差被4整除后的商是多少。

【“整数倍”即为大船条数，“商”即为小船条数。】

前面已确认这个整数倍（即大船条数）是不小于17的，现在就来确认它究竟是几。

6×17=102，102-100=2，2不能被4整除，17不行；

6×18=108，108-100=8，8÷4=2，18可以；

6×19=114，114-100=14，14不能被4整除，19不行；

6×20=120，120-100=20，20÷4=5，20可以；

6×21=126，126-100=26，26不能被4整除，21不行；

6×22=132，132-100=32，32÷4=8，22可以；

……

咦，怎么18、20、22、……都可以呢？那到底是哪个呢？

哦，还有总船数50的限制。

前面已确认，2条大船与3条小船各自坐满时人数相同均为12人，并将其作为一组分离出来不参与多出的人数的比较。

我们现在来看看，这样的组共有多少以及对应的船数是多少。

由于：

第一，一组是5（2+3=5）条船；

第二，而大船比小船多坐的100人需要至少大船18条加小船2条合计20条才能多出来（上述计算的第二行的结果）。

所以：

大船2条+小船3条这样配置的组不多于6【(50-20)÷5=6】组。

假设为6组，则6组合计的30（5×6=30）条船内有大船12（2×6=12）条、小船18（3×6=18）条，各自坐满时均为72（大船：6×12=72；小船：4×18=72）人；另有20（50-30=20）条船，若按大船18条、小船2条配置则各自坐满时（大船：6×18=108；小船：4×2=8）大船比小船多坐100（108-8=100）人。满足题意。

假设为5组，则5组合计的25（5×5=25）条船内有大船10（2×5=10）条、小船15（3×5=15）条，各自坐满时均为60（大船：6×10=60；小船：4×15=60）人；另有25（50-25=25）条船，若按大船20条、小船5条配置则各自坐满时（大船：6×20=120；小船：4×5=20）大船比小船多坐100（120-20=100）人。满足题意。

假设为4组，则4组合计的20（5×4=20）条船内有大船8（2×4=8）条、小船12（3×4=12）条，各自坐满时均为48（大船：6×8=48；小船：4×12=48）人；另有30（50-20=30）条船，若按大船22条、小船8条配置则各自坐满时（大船：6×22=132；小船：4×8=32）大船比小船多坐100（132-32=100）人。满足题意。

假设为3组，……

咦，这样核算下去，工作量太大，不行，得想个法子偷懒简化计算。

还是接着下面这个来算似乎简单一些：

“6×22=132，132-100=32，32÷4=8，22可以；”

只要如“22+8=30，50-30=20，20能被5（2+3=5）整除”这样的即可。

那接着来。

6×23=138，138-100=38，38不能被4整除，×；

6×24=144，144-100=44，44÷4=11，[50-(24+11)]÷5=3，√；

6×25=150，150-100=50，50不能被4整除，×；

6×26=156，156-100=56，56÷4=14，[50-(26+14)]÷5=2，√；

咦，结合前面已经算的一起看：

6×17=102，102-100=2，2不能被4整除，×；

6×18=108，108-100=8，8÷4=2，[50-(18+2)]÷5=6，√；

6×19=114，114-100=14，14不能被4整除，×；

6×20=120，120-100=20，20÷4=5，[50-(20+5)]÷5=5，√；

6×21=126，126-100=26，26不能被4整除，×；

6×22=132，132-100=32，32÷4=8，[50-(22+8)]÷5=4，√；

6×23=138，138-100=38，38不能被4整除，×；

6×24=144，144-100=44，44÷4=11，[50-(24+11)]÷5=3，√；

6×25=150，150-100=50，50不能被4整除，×；

6×26=156，156-100=56，56÷4=14，[50-(26+14)]÷5=2，√；

发现，当6的倍数取奇数时均不能满足题意，而取偶数时均能满足题意。

据此，我们可以预测一下后面的情况，当6的倍数取27、29、31、……时肯定不行，而取28、30、32、……时肯定行。

验证一下：

6×27=162，162-100=62，62不能被4整除，×；

6×28=168，168-100=68，68÷4=17，[50-(28+17)]÷5=1，√；

6×29=174，174-100=74，74不能被4整除，×；

6×30=180，180-100=80，80÷4=20，[50-(30+20)]÷5=0，√。

诶~，算到0了，这个0意味着2条大船、3条小船作为一组的组数为0了，那就不用再算下去了。

我们的预测是对的。

现在我们来整理一下结果，然后深入思考一下其中的道理。

结果/答案是：

50条船分别按大船30+小船20、大船28+小船17、……

咦，不对，28+17=45，还有50-45=5条去哪儿了呢？哦，对，组数算得为1，一组内大船2条、小船3条，那1组就有2条大船、3条小船。然后，大船数量为28+2=30条，小船数量为17+3=30条。咦，也是大船30+小船20啊。看来，其它情况下也是如此。

验算一下。

过程略（心算一下即可）。

经过验算，发现果然如此，最后结果均为大船30条、小船20条。

如此简单的结果，我们竟然思索了这么繁多！肯定有什么关键性的东西被我们忽略了或者没有充分运用。

也该“思考思考”【前者为动词，后者为名词，意即对我们已然作出的思考（的过程和细节）再进行一番思考——审查和/或升华）。详见：“基本原理”之“过程还原、切换视角、转换表述”（三）】了。

……

~~~~~~~~~~~~~~~~~

思路十

“思考思考”之后发现，其实题设情境可以被抽象为一个“数论”性的问题：

一个数（对应大船所坐的人数）可被6整除（对应所有大船均被“坐满”）且该数与100之差（对应大船比小船多坐100人）能被4整除（对应所有小船均被“坐满”）且前者之商与后者之商的和为50，求该数。

如引入数学符号则可表示为（记该数为Q）：

Q÷6+(Q-100)÷4=50 ……(1)

【若用代数方程的解法，则这就是可解本题的一个方程——只设一个未知数的一元一次方程，而本题方程解法的常规思路是二元一次方程组（分别设大船和小船数量为两个未知数）——当然也可以设大船或小船数量一个未知数（另一个可由二者之和为50用所设未知数表示出来）列一元一次方程来求解。这里写成如此代数-方程的形式只是为了下文表述的方便。】

先根据四则运算法则去括号并运算：

Q÷6+Q÷4-100÷4=50

Q÷6+Q÷4-25=50

将“Q÷6+Q÷4”视为一个整体（或一个数）则有：

Q÷6+Q÷4=75 ……(2)

因为：Q既能被6整除又能被4整除

所以：Q是6与4的最小公倍数12的整数倍——记其为P

取P=10，则Q=12×10=120

将Q=120放入式(2)验算：

120÷6+120÷4=20+30=50≠75，×

取P=20，则Q=12×20=240

将Q=240放入式(2)验算：