突破125年世纪难题！北大校友联手科大少年班才子破解希尔伯特第六问题

闻乐 发自 凹非寺

量子位 | 公众号 QbitAI

1900年，数学大师希尔伯特提出23个数学难题，其中第六个问题——“物理学的公理化”，被称为数学物理的终极挑战。

125年后，北大校友邓煜、中科大少年班马骁与陶哲轩高徒扎赫尔・哈尼终于在这一问题上取得重大突破。

在20世纪，关于第六问题，希尔伯特追问：

能否像欧几里得几何一样，为物理学构建严格的数学基础？

因涉及从微观粒子动力学到宏观连续介质的多尺度关联，这个问题证明起来非常困难。

在微观层面，气体由无数粒子组成，单个粒子运动服从牛顿力学（时间可逆）。

在宏观层面，气体的统计行为由玻尔兹曼方程描述（时间不可逆，趋向熵增）。

如何从可逆的微观规律，演化出不可逆的宏观行为？

125年来，无数数学家在此领域折戟沉沙。

爱因斯坦的广义相对论、量子力学的数学框架虽部分实现了公理化愿景，但微观与宏观定律间的逻辑鸿沟始终未被弥合。

终于，三位数学家撕开了这道世纪难题的一角。

他们成功从微观粒子模型推导出宏观气体行为，填补了牛顿力学与玻尔兹曼方程之间的逻辑鸿沟。

首次严格证明了从牛顿力学到玻尔兹曼方程的完整过渡，不仅为统计力学奠定了更坚实的数学基础，更意外地解答了玻尔兹曼时代遗留的“时间箭头之谜”。

核心突破

该问题的核心目标是从弹性碰撞的硬球粒子系统出发，严格推导出流体力学的基本偏微分方程，完成希尔伯特第六问题中从原子论到连续介质运动定律的推导程序。

解决该问题要分两步走，先通过 “动力学极限” 从牛顿定律推导出玻尔兹曼方程，再通过 “流体动力学极限” 从玻尔兹曼方程推导出流体方程。

从牛顿到玻尔兹曼——“动力学极限”

考虑直径为ε的N个硬球粒子组成的系统，当N趋于无穷大、ε趋于0时（称为Boltzmann-Grad极限），证明粒子系统的单粒子密度可由玻尔兹曼方程描述。

邓煜和哈尼最初专注于波系统研究（如光线传播），曾在分析波的微观到介观过渡时，开发出分解复杂波动模式为简单子模式的数学工具。

他们通过 “逐次近似法”，将多个波的相互作用拆解为两两或三三波的局部作用，从而简化概率计算。

转向粒子系统后，他们发现粒子碰撞与波的干涉本质不同

波可叠加穿透，而粒子碰撞后会改变轨迹，导致碰撞顺序和次数直接影响结果（如多次碰撞可能引发 “蝴蝶效应”）。

需重新设计方法以追踪粒子碰撞后的轨迹变化，避免因轨迹复杂性导致的计算爆炸。

于是，团队从无限空间气体模型入手（粒子最终离散，碰撞次数有限），而非直接挑战 “盒子环境中粒子无限碰撞” 的难题，降低初始研究复杂度。

在无限空间中证明 “玻尔兹曼方程可由牛顿模型推导” 后，三人将技术迁移至周期性边界条件的盒子环境（粒子碰撞盒壁后从对侧重生，模拟无限空间）。

通过傅里叶变换将盒子环境中的粒子轨迹转换为无限空间的虚拟轨迹叠加，从而复用无限空间中的碰撞模式分析方法，证明盒子环境中碰撞频率与无限空间等效，且多次碰撞概率仍可忽略。

这一阶段的研究证明了牛顿粒子模型在无限空间和盒子环境中，均可推导出玻尔兹曼方程（描述分子速度分布），解决了希尔伯特第六问题中 “最困难的逻辑断层”。

从玻尔兹曼到流体方程——“流体动力学极限”

当玻尔兹曼方程中的碰撞率α趋于无穷大时，其解趋近于局部麦克斯韦分布，对应宏观流体参数（密度ρ、速度u、温度T）。

团队在这一阶段具体推导出了：

不可压缩纳维-斯托克斯-傅里叶方程组，描述流体的速度和密度演化。

可压缩欧拉方程，描述流体的密度、速度和温度的宏观运动。

在从介观到宏观的研究进程中，数学家们的目标是证明描述分子层面行为的玻尔兹曼方程，能够推导出描述宏观流体运动的纳维-斯托克斯方程。

为此，他们引入克努森数来衡量气体的稀薄程度，判断气体更符合哪种方程的适用条件。

借助Chapman-Enskog展开法，科学家们把分子分布函数拆解成不同层级，逐步分析其中的变化。

在这个过程中，他们利用玻尔兹曼方程中碰撞满足质量、动量和能量守恒的特性，推导出宏观的守恒定律。

同时，通过熵增原理，将分子层面的变化与宏观流体的能量损耗建立联系。

经过多年研究，数学家们证明了在特定条件下，玻尔兹曼方程的解会逐渐趋近于纳维-斯托克斯方程的解。

不过，这种推导也有局限性，只适用于接近平衡状态的情况，对于复杂的湍流现象还无法完全解释。

邓煜、哈尼和马骁三位数学家在完成微观到介观的推导后，结合前人在介观到宏观领域的成果，最终形成了形成“牛顿力学→统计力学→流体力学”的完整逻辑链。

用数学方法严谨地证明了气体在不同尺度下的物理规律之间的联系。

这项工作不仅标志着希尔伯特第六问题得到重大突破，还提供了一种对古老悖论严格的数学解决方案。

微观层面粒子遵循牛顿定律，时间可逆，而介观和宏观层面的玻尔兹曼方程与纳维-斯托克斯方程时间不可逆，这一矛盾曾令玻尔兹曼同时代人困惑。

玻尔兹曼认为虽单个粒子时间可逆，但几乎所有碰撞模式最终使气体扩散，时间不可逆。

兰福德在极短时间范围内从数学上证实此直觉，如今三位数学家的成果在更现实情况下进一步确认，从数学角度解决了这一古老悖论。

三位数学家

邓煜本科由北大转学到麻省理工学院取得数学学士学位，博士毕业于美国普林斯顿大学。

现任芝加哥大学数学系副教授，他的研究方向聚焦于数学物理与非线性偏微分方程。

2006年，他和柳智宇（那位下山还俗的北大数院天才）等一同获得了国际数学奥林匹克竞赛IMO的金牌，2024年获ICBS数学前沿奖。

另一位华人数学家马骁于2014年考入中科大少年班，2015学年被华罗庚数学科技英才班录取，是普林斯顿大学博士，现为密歇根大学助理教授。

而本项工作的另一位数学家扎赫尔・哈尼（Zaher Hani）则是陶哲轩高徒。

他于2011年在UCLA获得博士学位，博士论文是在陶哲轩的指导下完成的。

论文地址：https://arxiv.org/abs/2503.01800

参考链接：https://www.quantamagazine.org/epic-effort-to-ground-physics-in-math-opens-up-the-secrets-of-time-20250611/