“抓三堆”游戏及其终极奥秘 （全文）

“抓三堆”游戏及其终极奥秘 （全文）

   　　　　          　  万春熙，2022年 1月                

 前言

“抓三堆”游戏有趣且简便易行、随时随地都可玩起来，可以自娱自乐（左右手对弈），能增益智力。游戏者若掌握其原理，将有助于发展十进/二进制转换与集合运算能力。

我在1969年接触到这个游戏。那时，北理工的教师和学生一起到首钢参加劳动。休闲的时候，一位同学用这游戏发起“挑战”；在上、下工的队伍里，我们曾经用轮流口述三个数字的方式，一边走路一边玩游戏。后来，我悄悄地破解了这个游戏的奥秘。

五十多年过去了，却发现网上居然涌现出很多讨论这个游戏的贴文，但无一能明确彻底地揭示该游戏的奥秘；反而，混乱和错误比比皆是。所以，深感有必要把这个游戏的终极奥秘公布出来，并力求解说得明白透彻，供有兴趣的朋友们实践运用或研究参考。

本文有两部分：第一部分是入门，介绍该游戏的操作方法、规则和初步技巧。第二部分揭示该游戏的终极奥秘。

建议先读第一部分，并亲自试做几次游戏（左右手互弈也很好），积累经验、试探规律。然后再读第二部分（涉及一点点计算机专业的入门数学知识，绝对不难），才能彻底理解并掌握百战百胜的法则。

春节即将到来，又是疫情期间，希望这游戏以及本文能给人们增添快乐。

第一部分   “抓三堆”游戏入门

一、游戏方法与规则：

设置三堆棋子（或石子、纸团、硬币等颗粒物），每堆数量不限。熟练后也可用口述或书写三个数字等方式来代替棋子。

规则：甲乙两方对弈，轮流从任选的一堆（限制只选一堆）中取出至少一枚（甚至全部）棋子。反复进行，直到最后一堆的最后一枚（甚至全部）棋子被一方取走，清零，则最后这位操作者获胜。

定义：若a,b,c是各堆棋子的数目，则集合 {a,b,c} 是游戏的局势，简称“局”。集合中各元素可任意排序，即 {a,b,c}={b,c,a}={c,b,a}。

定义：局中棋子的总数为该局的“层级”。游戏中的每一步操作必定使局的层级降低，直至清零（层级为零，无可再低）。

在所有可能的局势中，“可控局”是致胜关键（其严格定义留待第二部分），下面的例子将展示游戏过程中，主控方如何通过一系列“可控局”，一步步取得胜利。

例1，设置三堆棋子，随机地假定局势为｛5,7,9｝（非可控局）。

第一轮：甲将5减至2，得到 {2,7,9}；

乙将9减至5，得到 {2,7,5} —— 这是可控局，于是，乙成为主控方。

第二轮：甲将7减至3，得到 {2,3,5}；

乙将5减至1，得到 (2,3,1) —— 这仍是可控局。

第三轮：甲将3减至0，得到 {2,0,1}；

乙将2减至1，得到 {1,0,1} —— 这仍是可控局。

第四轮：甲将某个1减至0，得到 {0,0,1}（无选择余地）；

乙将最后的1清零，得到 {0,0,0}，乙胜。

二、制胜的初步秘诀和策略（较简单的“可控局”等）：

１、最简制胜招数是造成“两堆一样”，这是一批“可控局”。—— 在例1第三轮，乙方弈出 {0,1,1}；即锁定了胜局。随后，无论甲方如何操作，乙方总能清零并获胜。故对于甲方而言 {0,1,1} 是必败局，对于乙方则是必胜局；这就是一个可控局，乙方是主控者。

注意，{0,2,2}、{0,3,3}、…{0,m,m}、…都可经过若干轮的操作而抵达{0,1,1}，故 {0,m,m} 是一批可控局，其中m是任何正整数。

（注：若对方已陷入 {0,m,m} 局中；若他从某个m中减去p枚棋子，主控方只需在另个m中也减去p枚棋子，局势 {0.m-p,m-p} 仍是“两堆一样”，直到 {0,1,1}、{0,0,0} 为止。）

2、{1,2,3} 是第二个最简单的可控局。—— 在上例第二轮第二步，乙方弈出的 {1,2,3} 也是可控局。甲方此时有6种操作方案，但是随后乙方必能弈出 {0,m,m}，最终获胜。

3、“可控局”、“可控操作”和“可控网”：—— 存在无限多的可控局，但却有更多的“非可控局”。下面列出一批层级较低的可控局，将它们按层级列阵如下（只需掌握其中5-6个以上的、其层级最接近 {0,0,0} 的可控局，就能在游戏中拥有很大的主控权）：

{5,8,13} , {5,9,12} , {5,10,15} , {5,11,14} , {5,16,21} , {5,17,20}, … … ;

{4,8,12} , {4,9,13} , {4,10,14} , {4,11,15} , {4,16,20} , (4,17,21), … … ;

{3,4,7} , {3,5,6} , {3,8,11} , {3,9,10} , {3,12,15}, … … ; 

{2,4,6} , {2,5,7} , {2,8,10} , {2,9,11} , {2,12,14}, … … ;

{1,2,3} , {1,4,5} , {1,6,7} , {1,8,9} , … … ; 

{0,1,1} , {0,2,2} , … … … , {0,m,m} , … … ;

{0,0,0} 。

从任何一个层级高于 {0,0,0} 的可控局出发，若只通过一步操作，绝不可能抵达另一个可控局；只能抵达某个“非可控局”（必定是层级较低的）。

但从任何“非可控局”出发，施行某种“可控操作”（后面将详细解说，也可按上面举出的可控局阵列操作），定能抵达某个层级较低的“可控局”。

如此逐轮操作下来，可构成朝向 {0,0,0} 汇聚的网，即“可控网”。

策略：主控方必须抢先弈出可控局，随后每轮持续弈出可控局，使对方无法摆脱可控网、逐步逼近 {0,0,0}；最后以可控的方式“清零”。

三、变换“获胜准则”将会怎样？可以“让对手获胜”吗？

1、变换“获胜准则”之后，如何获胜？

若约定“清零者失败”（事实上，的确有不少人偏爱这个准则），前述的获胜策略总体上仍然有效 —— 主控方仍需一路控制局势，直到清零之前的最后一轮，才必须做出调整。

回忆例1，原来有：“ …  … 

　　  第三轮操作：甲将3减至0，得到 {2,0,1}；

　　乙将2减至1，得到 {1,0,1} —— 这是可控局。

　    　第四轮操作：甲将某个1减至0，得到 {0,0,1}；

　　    乙将最后的1清零，得到 {0,0,0}，乙胜。 ”

现在，因为获胜准则已改变为“清零者失败”，乙方必须在第三轮第二步及时调整策略：避开可控局 {0,1,1}， 却要抢先弈出 {0,0,1} （“非可控局”）。随后，甲方只能清零；按新规则甲败，乙方获胜！

详细地说，调整后的策略应是：

（1）目标：抢先弈出 {0,0,1} 。为此，主控方需从较高层级的可控局出发，一路控制下来，直到弈出 {0,2,2} 或 {1,2,3} 为止。

注意：绝不可弈出{0,1,1}，它紧邻 {0,0,1}，对方将一步获胜。

　（2）{0,2,2} 是第一个可控临界点。此后，对方有2种可能方案，即 {0,0,2} 或 {0,1,2}，随后，主控方必能弈出 {0,0,1}。

（3）{1,2,3} 是第二个可控临界点。此后，对方有6种可能的操作方式；待其操作后，主控方将有：

（i）2个机会：若对方弈出{0,1,2} 或 {0,1,3}，主控方应及时弈出 {0,0,1}；

（ii）2个机会：若对方弈出{1,1,2} 或 {1,1,3}，主控方应弈出 {1,1,1}，以迫使对方弈出 {0,1,1}，然后主控方就能够弈出 {0,0,1}；

(iii）2个机会：若对方弈出 {0,2,3} 或 {1,2,2}，主控方应弈出 {0,2,2}，然后按（2）执行。

（注1：无需硬记上述细节，只需理解并掌握原则、临机应变。）

（注2：一般地，从某个层级较高的可控局出发，总能通过若干轮操作后抵达 {0,2,2} 或 {1,2,3}，随后即可按（2）或（3）执行。但或许会出现对方急于求败的情况：即对方可能从某个可控局出发，弈出一个非可控局 {0,1,m}，m > 1；这时，主控方就能直接弈出 {0,0,1}，更快地锁定胜局。）

2、如何能够（并且，为何有需要）“使对方被动地获胜”？

假若，获胜准则恢复为：“清零者获胜”，那么，运用上述调整后的策略，主控方在最后一步弈出了{0,0,1}，那么，对方随即就能清零。于是，在主控方控制之下，对方将“被动地获胜”。

又假若，获胜准则已变为“清零者失败”；那么，只要继续采用前面第二节的全套策略、不做任何调整，主动地一路弈出可控局，直到最后主动清零、“主动失败”，遂使得对方“被动地获胜”。

如果游戏的对方是晚辈小朋友，他们大多会觉得有输有赢的游戏才有趣。如果能不动声色地让他们多赢几盘，取得皆大欢喜的效果，应该也是乐事！—— 如果能够给需要关爱的人们带来更多的快乐，那将是更高层级的快乐。

第二部分　　“抓三堆”的终极奥秘

一、施行“可控操作”的两个方法：

可控操作就是从任何非可控局出发，只经过一步操作，就到达某个层级较低的可控局的操作。下面是两个施行方法（第一个必须知道，但第二个更好）：

1、布尔代数的“异或”运算法（似更适合机器计算）：

举例说明：设非可控局为 {5,9,14}，要对其施行可控操作：

第一步，将前两个数字5和9转换为二进制表达^＊：

       5 = 0+4+0+1  →  [0101]；（注：右侧是二进制表达。）

       9 = 8+0+0+1  →  [1001]。

（^＊注释： 二进制表达之前，要把十进制的数字转换为二进制诸位权之和，如63=32+16+8+4+2+1,  53=32+16+0+4+0+1, 等等。相应的二进制数就是：63→[111111],  53→[110101], 等等。）

第二步，对这两个二进制数施行“异或（Exclusive OR）”运算，即逐位相加，但须令1+1=0（可理解为‘同性相斥’或“一山不容二虎”）。遂有：

　　　[0101] ⊕ [1001]  =  [1100]；　其中，⊕ — 异或运算符。

第三步，再将此二进制数转换为十进制数，即

   [1100]  → （8+4+0+0）= 12。

第四步，将所得数字12替换原来 {5,9,14} 中最后的数字14，得到的 {5,9,12} 就是一个层级较低的可控局。

以上四步完成了一个可控操作。 

2、集合对称差运算法（更简捷、适合心算）：

继续引用前例。

第一步，将5和9按二进制位权展开，并映射为集合，如下：

           5 = （0+4+0+1） →  {0,4,0,1} （熟练后可表为 {4,1}）；

  9 = （8+0+0+1） →  {8,0,0,1} （或 {8,1}，将0视为“虚无”）。

第二步，对此二集合施行“对称差运算”，就是把两个集合并合，但将“非零相同元素”排除。设定“⊕”是对称差运算符（与“异或”运算符相通）。例如：

{0,4,0,1} ⊕ {8,0,0,1} = {8,4,0,0}； 或简写为：  {4,1} ⊕ {8,1} = {8,4}。

本例中，“非零相同元素”是两个‘1’；“将其排除”就是消减至“零”，即视为“虚无”。

第三步，将运算结果，反向映射为数字，即：

{8,4,0,0} → 8+4+0+0 = 12； 或简写为： {8,4}  → 8+4 = 12 。

    第四步，仍如 （1）那样，将所得的12替换原来的数字14，得到 {5,9,12}。

这个方法免去了十进/二进制来回转换的步骤，更为简捷。

其实，布尔代数中的“异或”运算乃是集合论中“对称差”运算的一个特例。上面两种方法的核心都是：按2的幂次展开之后，视为集合，再进行对称差运算。

可以设定一个新的运算符“Ⓧ”来统括表达上述过程，并简称之为“二进对称差运算”。例如：  5 Ⓧ 9 = 12。这样的一个算符就代表了上面从第一步到第三部的全过程。

为熟悉这种表达方式，再举一例：如 {5,14,19} 为非可控局，从它出发，要施行可控操作，首先要对5和14施行“二进对称差运算”:

5Ⓧ14  →  {4,1} ⊕ {8,4,2} = {8,2,1}  → 11；或直接地表达为： 5Ⓧ14 = 11 。

用此11代替 {5,14,19} 中的19，得 {5,14,11}，这是个可控局（且层级降低了）。 

二，实现可控操作的充分条件：

上述二进对称差运算是实现可控操作的必要条件。

要实现可控操作，运算结果必须小于所要替换的数字，即新的可控局的层级必须比原来的非可控局更低。这是充分性的条件。

例如，从上面的例子 {5,14,19} 出发，两两一组地施行二进对称差运算，可得：

5Ⓧ14 = 11 ，14Ⓧ19 = 29，19Ⓧ5 = 22；

但是，29 > 5，22 > 14；无论 {29,14,19} 或 {5,22,19} 都比 {5,14,19} 的层级更高。所以，只有第一组运算的结果满足充分条件（11 < 19），可以实现可控操作；其他两组运算都无效。

满足充分条件的可控操作是肯定存在的，证明从略，三组运算中至少有一组结果会满足充分条件。顶多试算三次或两次，就能找到这个结果。

（注：在游戏进程中，主控方若已弈出可控局{a,b,c}，对方又从此出发，弈出了一个非可控局 {a,b,c*}；随后，从 {a,b,c*} 出发，主控方无需再试算aⓍb，因其结果肯定又回到上一轮的 {a,b,c}。这时，顶多再试算两次就能找到满足充分条件的运算结果。）

下面的方法可能有助于快速找到这组满足充分条件所需要的结果。

仍以 {5,14,19} 为例，对三个元素实行二进展开，如下：

5 = 4 + 1   → { 0, 0, 4, 0, 1}  → [00101]

14= 8+4+2  → { 0, 8, 4, 2, 0}  → [01110]

19=16+2+1  → {16, 0,0,2,1}  → [10011]。

可以看出，第三行（‘19’数据行）中有个16，是位权数值最大的（16>15=8+4+2+1），而且在三组数据里是唯一的。若保留19并且将其与14或5实行二进对称差运算的话，16将被保留下来（一权独大），运算结果肯定大于14和5；不能满足充分条件。因此，可控操作所需的数值减缩对象只能是19。

    这个方法只需审视三组中最大的位权数值，有时可以快速找到运算目标，适合于心算。

三，可控局的固有性质，以及“抓三堆”游戏的终极奥秘：

上面两节的三个方法是相通的，其核心都是对称差（或‘异或’）运算⊕。对称差运算，具有一个奇妙的固有性质：

设 {a,b,c} 为集合，若且仅需若a⊕b = c，则必有 c⊕a = b，且 b⊕c = a。

也就是说，满足对称差运算关系的三个元素，是一个彼此互为因果的“小圈子”。

可控操作的“二进对称差运算”是对称差运算的外延，延续了对称差运算的这个性质。例如，若 {28,47,51} 为可控局，则28Ⓧ47 = 51，51Ⓧ28 = 47 和 47Ⓧ51 = 28。

由于具有这个特性，若A是可控局，则不可能找到另一个可控局B，其中会有两个数字b1,b2与A中的某两个数字a1,a2相同。因为，若A,B中有任何两组数字互等（a1=b1,a2=b2），则做为二进对称差运算的结果，第三个元素a3与b3，肯定也相等（a3=b3）；所以“另一个”可控局实际上是不存在的。

换言之，若只是改变某可控局中的某一个数字（另二个数字保持不变），其结果不可能是另一个可控局，而只能成为一个非可控局。

但对于任何非可控局 {a,b,c*}，按 aⓍb = c （且c < c*）的方法将c*替换为较小的c，就能获得一个层级较低的可控局 {a,b,c}。

因此，若从某个可控局出发，必须（且只需）改变两个数字才能（且必能）到达另一个可控局。

因此，当主控方弈出一个可控局之后，按规则，对手只能使某一个数字减小，其结果只能到达某个非可控局 —— 恰好为主控方施行可控操作、继续保持可控权提供前提条件。

这就是“抓三堆”游戏的终极奥秘。