为什么在圆周率中会出现26390和你的生日？ | 袁岚峰

如果你知道圆周率约等于3.14，那么你的数学至少达到了小学水平。这就是为什么，联合国科教文组织2019年把每年的3月14日设置为“国际数学日”。

如果你知道圆周率是个无理数，即它是无限不循环小数，那么你的数学至少达到了中学水平。由此决定，再强的计算机也不可能把π算尽。有时看到一群民科大谈如何把π算尽，大谈这如何意味着揭开宇宙秘密，实在令人啼笑皆非。

如果你知道圆周率是个超越数，即它不是任何整系数多项式的根，那么你的知识水平超过了99.9%的人。由此决定，化圆为方不可能用尺规作图完成。任何还在研究这个问题或者三等分角、立方倍积等经典的不可能问题的人，都纯粹是在浪费时间。

如果你还知道圆周率下面的性质，那么你的知识水平至少超过了99.99%的人。

最近，中国科学技术大学上海研究院墨子沙龙邀请中国科学院数学与系统科学研究院袁亚湘院士做了一场报告《数学漫谈》（袁亚湘院士：刷题能学好数学吗？| 墨子沙龙）。袁亚湘院士是中国数学会前理事长，他这场报告一开头就讲了不少π的有趣性质。

有很多意想不到的公式得到π。例如：

1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + 1/9 - 1/11 + ...

你猜，这样无穷下去等于多少？答案是π/4。

作为一种数值方法，这样可以计算π，但缺点是收敛得太慢。你可以用下面这种快得多的方法：

1 + 1/2^2 + 1/3^2 + 1/4^2 + ...

你猜，这个无穷级数又等于多少？答案是π^2/6。

这两个公式都还比较简单，至少我在上大学的时候都学过。如果你能证出它们，那么你的数学至少是大学水平。但下面这个公式，就有点天外飞仙了：

π = Sigma(k = 0, infinity) (1/16^k) * [4/(8k+1) - 2/(8k + 4) - 1/(8k +5) - 1/(8k +6)]

我不知道这个公式是怎么来的，但至少它的形式还比较简单。如果我努力钻研一番，也许是能搞明白的。而且很容易就能看出，这个公式收敛得很快，因为每一项前面都有个除以16的k次方，随着k的增加它会迅速减小。

令人震惊的是，还有下面这种完全神来之笔的公式：

1/π = sqrt(8) / 9801 Sigma(n = 0, infinity) [(4n)!/(n!)^4] * [(26390n + 1103) / 396^(4n)]

这个公式来自印度传奇数学家斯里尼瓦瑟·拉马努金（Srinivasa Ramanujan，1887 -1920）。他的特点是经常提出令人目瞪口呆的恒等式，这就是他的代表作之一。为什么计算圆周率会出现26390这么大的数，我完全看不出原因！希望有专家能给我和公众指点一番。

斯里尼瓦瑟·拉马努金

这个公式收敛得更快，每计算一项可以得到8位的十进制数字。1985年，有人用它把π计算到了1750万位。

可是这还没完。袁亚湘举的最后一个公式是：

1/π =1/ [53360 sqrt(640320)] Sigma(n = 0, infinity) (-1)^n * {(6n)!/[(n!)^3 (3n)!] } * [(545140134n + 13591409) / 640320^(3n)]

有了前面的铺垫，我虽然还是会对这公式的复杂程度感到震惊，但很快就可以明白，它跟拉马努金公式是基于相同的原理，因为它们的结构如出一辙。只要能理解拉马努金公式，肯定也能理解这个更复杂的，只是下多少功夫的问题。仔细看，虽然这里最大的数是545140134这个九位数，但最特别的是640320，它出现了两次，分别在连加前面的根号下和连加中的3n次方那一项。由此可见，这里肯定有某种诀窍。

事实上，搜索一下就可以知道，这是大卫·丘德诺夫斯基和格雷高里·丘德诺夫斯基兄弟在1989年提出的，正是对拉马努金公式的改进。用这个公式，计算一项就可以得到15位的十进制数字。1994年，丘德诺夫斯基兄弟用这个公式把π计算到了40亿4400万位。袁亚湘告诉大家，最近π算到了105万亿位。

紧接着，袁亚湘又说了圆周率的一个性质。你如果明白他说的是啥，你的知识水平就超过了99.999%的人。他的原文是：

π有一个有待证明的有趣性质：把身份证号码输进去，在π里能找到，比如19210701是党的生日，精确在4400多万位就能找到这个数串。同样道理，输入共和国的生日19491001也能找到，但稍微难一点，在8200多万位。所以我经常开玩笑：π告诉我们，先有共产党后有新中国。当然一般来说，数串越长越难找。如果输入1314，很快就能在小数点后3902位找到，但如果在1314前面加520，就难多了，在200多万位才能找到。仿佛告诉我们：一生一世很容易，但要爱一个人一生一世还是挺难的。

你看明白了吗？其实袁亚湘说的是这样一个性质：在圆周率的小数表示中，包含所有可能的自然数序列。请注意，这个性质还没有证明，也就是说π是不是真的包含所有的自然数序列，我们是不知道的。现在能说的，只是我们尝试了很多序列都找到了，而且到目前为止没找到反例。

再搜索一下，可以发现满足这样性质的数字叫做正规数（normal number）。实际上，正规数的定义比这个更严格一些，它还要求所有等长序列出现的概率相等，都等于它们在完全随机序列中出现的概率。不过对我们这些数学门外汉来说，暂时不用在意这些细节。

正规数的意义可以这样理解：假如把自然数序列作为一种编码，那么在正规数中可以找到任何信息，包括你的生日、你的电话号码、你的所有信息，包括古往今来所有的书籍、所有的图片、所有的影视，包括外星人的所有信息，包括以后可能产生的任何信息。这真是令人神往，唯一的问题只是我们没有那么多时间去浏览那么多信息。

有朋友问，是不是所有的无理数都有这样的性质？回答是，显然不是。因为我们可以构造一个只由0和1组成的无理数：

0.101001000100001...

这个数的特点是，两个1之间的间隔越来越长，分别是一个0、两个0、三个0、四个0等等。显然它不是循环小数，因此它是无理数。但有很多序列，在它当中就找不到，例如包含0和1之外数字的，以及包含相连的两个1的。因此，它不是个正规数。

朋友又问了：那根号2呢？它是不是正规数？

答案又一次让人震惊。人类目前对正规数的了解处于一个很神奇的状况：一方面我们知道它特别多，简直遍地都是，但另一方面我们又很难举出一个具体的例子。

先来看前一面。正规数特别多的意思是，我们可以证明几乎所有的实数都是正规数。“几乎所有”的意思是，非正规数的测度是0，也就是说它们在实数中所占的比例是0。

当然，测度为0不意味着不存在。显然非正规数是大量存在的，所有的有理数都是非正规数，因为它们的小数表示会循环。但你如果学过实数的性质，你就会知道有理数在实数中所占的比例是0。当然，如果能了解这些，你的知识水平本来就超过99.99%的人了！现在我们知道的是，所有的有理数加上所有的非正规的无理数，在实数中所占的比例还是0。

再来看后一面。虽然随便拎出一个实数来，它就有极大的概率是正规数，——实际上这个概率是100%，因为它不是正规数的概率是0%，——但100%的概率并不等于必然发生。最神奇的是，对于任何一个你容易想到的无理数，例如π或者根号2或者ln2或者e等等，我们目前都不知道它是不是正规数！

事实上，正规数这个概念是法国数学家埃米尔·博雷尔（Félix-Édouard-Justin-Émile Borel，1871 -1956）在1909年提出来的。他立刻就证明了几乎所有的实数都是正规数，但第一个已知的正规数，却要等到1917年才由波兰数学家瓦茨瓦夫·谢尔宾斯基（Wacław Franciszek Sierpiński，1882-1969）构造出来。对于那些不是专门构造出来的数，也就是常见的π或者根号2等等数，要判断它是否正规非常困难。

埃米尔·博雷尔

瓦茨瓦夫·谢尔宾斯基

类似的窘境在数学里经常出现。例如我们知道π和e都是无理数，但它们俩加起来是不是无理数？居然还没人知道！虽然从直觉来看，π + e几乎不可能是有理数，但目前没人能证明这一点。

现在，你对数学的博大精深，是不是有了更多的感悟呢？